DeFi流動性挖礦大熱，參與Balancer前你應該知道這些概念

作者：洒脫喜

寫在前面：

隨著近期Compound治理代幣COMP的大熱，Defi「流動性挖礦」潮正式來臨，而同樣備受市場期待，又有著高級版uniswap之稱的Balancer，也即將迎來自己的治理代幣挖礦。而在參與Balancer的流動性挖礦之前，你需要對幾個概念有所了解，一是如何計算Balancer儲備池的值，二是計算無常損失，最後則是關於滑點的計算，對於這些，Balancer首席執行官Fernando Martinelli將為我們一一道來。

如果你有曾讀過Balancer的白皮書，那你可能會覺得，要理解所有涉及到的數學知識會讓人感到畏懼。幸運的是，大多數複雜的偏導數和證明，對於理解和使用協議而言其實是不必要的。一個簡單的不變數（我們稱之為值函數）確保了Balancer資產儲備池具有的所有有趣的自平衡屬性：

其中Bi 和Wi分別是代幣餘額和權重。

Balancer儲備池的值

一個Balancer儲備池，可以由多達8種不同的ERC20代幣組成，並且每種代幣都有自己任意的權重。這個權重表示儲備池在任何時候，應在每個代幣中保持的值的百分比。只要市場上有活躍的理性套利者，且池的費用很低，則儲備池持有的每個代幣的價值百分比，預計總是非常接近池的權重。 （關於高收費Balancer池的情況，請看這篇文章）

在低費用的情況下，只要任何一個代幣相對於另一個代幣有價格變化，套利者就會受到激勵，以使代幣之間的資產池價值分配，恢復到原始預定義權重。

為每個代幣靈活選擇權重的有趣效果是，儲備池流動性提供者（LP），可以控制他們希望對每種資產承擔的風險水平。例如，如果他們看好MKR（相對於ETH），他們可以選擇向MKR權重高、ETH權重低的儲備池中添加流動性。如果不存在這樣的儲備池，他們也可以自己創建一個。這樣，當MKR相對於ETH上升時，他們將獲得MKR的大部分上行空間。

當然，這一優勢並不等同於持有100%的MKR，但它將比在MKR和ETH之間擁有50/50的儲備池要好得多。下面的截圖，顯示了在實踐中的情況。

在向Balancer儲備池提供流動性時，你可能會問的一些關鍵問題是：

1. 在基礎代幣的價格全部改變之後，是否有一種方法可以概括計算出Balancer儲備池的值？
2. 如果MKR的價格翻倍，且ETH保持不變，那麼持有75％MKR和25％ETH（類似於上面的截圖）的儲備池的價值將增加多少？
3. 如果權重為10％的代幣價格下跌80%，那麼儲備池損失是多少？

一個非常簡單的公式，可以為以上所有問題提供答案。Balancer池的值（例如以USD計算），根據其每個基礎代幣的同一參考的（USD）價格變化而變化：

其中

是代幣i的美元價格變化，而

是代幣i的權重。

這個方程的長形式證明，可以在我們網站上的詳細文章中找到。

有了這個公式，我們就可以輕鬆回答上面提到的問題，請注意，無論代幣的權重如何，不變的代幣價格都不會影響儲備池的值（ΔP_usd^w = 1^w = 1），無論這些代幣的權重如何。所以我們有：

1. 如果MKR的代幣價格翻番，75%MKR和25%ETH的儲備池的總價值將增加68.2%（=2^0.75=1.682），而一個50/50比例儲備池的總價值則增加41.4%（=2^0.5=1.414）。
2. 如果一個儲備池中某個代幣的權重為10%，且其價格崩盤80%（或ΔP_usd = 0.2），那麼這個儲備池的總價值只會下降約15%（=0.2^0.1=0.8513）。

流動性提供者的無常損失（IL）

「無常損失」一詞在Pintail的文章推出後被廣泛傳播。如果你之前從未聽過這個詞，可以閱讀下Pintail寫的關於Uniswap儲備池回報的重要文章。

根據定義，無常損失（IL）描述的是這樣一種損失：在儲備池中的資產，較這些資產在池外的情況下損失的百分比，用公式來表達便是：

上面這個公式考慮的是0費用的儲備池情況。不含費用的Balancer價值函數與路徑無關（也就是說，交易順序不會更改池的最終狀態）。這意味著，如果流動性提供者（LP）在移除其所有相關代幣的流動性時，代幣的價格與增加流動性時相同，則無常損失將為零：他們將擁有與其投資的代幣數量完全相同的代幣。

在等式中加上費用，流動性提供者（LP）的最終美元收益將是累計費用（以總儲備池值的百分比計），減去無常損失。

我們可以使用以下定義來更改池中持有價值的變化，來擴展上述無常損失的公式：

為了說明這個公式，我們舉個例子，例如，假設一個籃子投資組合中，有一個權重為50%的代幣，而它的價格翻了一番。那麼這個籃子投資組合的總價值將增加50%，或1.5倍（=1*50%+2*50%=1.5）。換言之，假設我最初持有500美元的代幣A和500美元的代幣B，兩者總共1000美元。如果代幣B的價值翻倍，那麼我就持有了500美元的代幣A和1000美元的代幣B，總計1500美元（即總價值增加了50%）。

如上面所述，無常損失也可以用儲備池值和持有池的變化來表示：

因此，替換上面的公式，就可以得出Balancer池中無常損失的最終表達式：

請注意，由於值函數的凸性，無常損失將始終為零或負數。這可能導致一種混淆，即負損失被解釋為收益。事實並非如此：無常損失（IL）總是負的真正含義是，代幣價格的任何相對變化，總是會導致一些短暫損失。

Balancer儲備池的滑點

根據定義，滑點是指交易中，實際支付價格相對於現貨即期價格的百分比變化。

在存在費用的Balancer儲備池中，即期價格的定義如下（請注意，從這裡開始，i是指輸入代幣，即交易者發送/出售給儲備池的代幣）：

根據定義，交易的有效價格是交易者出售的金額（amountIn）除以他們獲得的其他代幣金額（amountOut）的比率：

使用我們白皮書中得出的amountOut公式，我們可以將其重寫為：

請注意，即使我們處理的是用戶定義要出售的金額（amount in）的交易，也可以在用戶定義要購買的金額（amountOut）時進行以下整個推導，詳見下一部分內容。

我們可以將滑點定義為有效價格超過即期價格的百分比。這是關於交易金額（Ai）的一個函數，因為它會影響有效價格：

因此，如果一筆交易的有效價格是102，而即期價格是100，那麼滑點就是2%。

在Balancer中，滑點並不是線性的：它隨著交易量的增加而增長得更快。不過，作為一個近似值，我們可以線性化小額交易的滑點。下圖以藍色顯示了增加數量的有效價格，以橙色表示的是有效價格的線性化（所有數字都是虛擬的）：

這種線性化對於許多演算法優化（包括我們的智能順序router （SOR））非常有用。

通過線性化，我們可以將滑點重寫為交易金額的線性函數：

滑動斜率（SL）只是上面在Ai = 0時定義的滑動公式的導數。可以用不同的方法來計算，但最終的解決方案是：

滑點計算實例

以一個70% AST / 30% WETH 的儲備池為例。在撰寫

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